Permutasi dan Kombinasi: Mengenal Ragam Cara Mengatur dan Memilih

Selamat datang dalam dunia permutasi dan kombinasi! Kedua konsep ini sangat berguna ketika kita berurusan dengan pengaturan dan pemilihan yang berbeda-beda.

Permutasi: Mengatur Urutan

Permutasi seperti menyusun playlist musik favoritmu. Bayangkan kamu memiliki lagu A, B, dan C. Dengan permutasi, kamu bisa mendapatkan urutan yang berbeda-beda. Jadi, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA adalah contoh permutasi dari lagu-lagu tersebut.

Kombinasi: Memilih Tanpa Memperhatikan Urutan

Sekarang, bayangkan kamu memiliki kantong penuh permen dengan rasa A, B, dan C. Dengan kombinasi, kamu bisa memilih sekelompok permen tanpa peduli urutannya. Jadi, ABC, ACB, dan BCA dianggap sebagai satu kombinasi yang sama.

Berikut ini kami berikan beberapa contoh soal dengan pembahasannya. Selamat Belajar!

Soal Permutasi dan Kombinasi

1. Dalam sebuah kelompok terdapat 5 siswa. Jika harus memilih 3 siswa untuk menjadi perwakilan, berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?

   • Permutasi: \(P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60\)
   • Kombinasi: \(C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10\)

2. Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Jika pelatih hanya dapat memilih 7 pemain untuk bermain, berapa banyak pilihan yang mungkin?

   • Permutasi: \(P(11,7) = \frac{11!}{(11-7)!} = 33264\)
   • Kombinasi: \(C(11,7) = \frac{11!}{7! \cdot (11-7)!} = 330\)

3. Seorang penulis ingin menyusun buku terdiri dari 4 cerita pendek. Jika dia memiliki 8 cerita pendek yang berbeda, berapa banyak cara dia dapat menyusun buku tersebut?

   • Permutasi: \(P(8,4) = \frac{8!}{(8-4)!} = 1680\)
   • Kombinasi: Kombinasi tidak berlaku dalam kasus ini karena cerita pendek dianggap berbeda.

4. Ada 6 warna cat yang berbeda. Jika Anda hanya bisa memilih 2 warna untuk mengecat kamar Anda, berapa banyak kombinasi warna yang mungkin?

   • Permutasi: \(P(6,2) = \frac{6!}{(6-2)!} = 30\)
   • Kombinasi: \(C(6,2) = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = 15\)

5. Sebuah kotak berisi 5 buah bola berwarna merah, 4 buah bola berwarna biru, dan 3 buah bola berwarna hijau. Jika Anda akan mengambil 2 bola secara acak, berapa banyak kemungkinan kombinasi warna yang mungkin?

   • Permutasi: Permutasi tidak berlaku dalam kasus ini karena bola-bola dianggap identik.
   • Kombinasi: \(C(12,2) = \frac{12!}{2! \cdot (12-2)!} = 66\)

Soal Permutasi dan Kombinasi (Esai)

6. Jelaskan apa itu permutasi dan berikan contoh penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

   Jawaban:

   • Permutasi adalah pengaturan atau susunan dari objek-objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan atau posisi masing-masing objek.
   • Contoh: Jika terdapat 3 buah buku A, B, dan C, maka berapa banyak cara kita dapat menyusun ketiga buku tersebut secara berbeda di atas rak buku?

   Pembahasan: Jumlah cara menyusun buku A, B, dan C adalah 3!, karena ada 3 objek berbeda.

7. Jelaskan konsep kombinasi dan berikan contoh situasi di mana kombinasi lebih tepat digunakan daripada permutasi.

   Jawaban:

   • Kombinasi adalah pengaturan atau pemilihan dari objek-objek tanpa memperhatikan urutan atau posisi masing-masing objek.
   • Contoh: Dalam sebuah kelas terdapat 5 siswa (A, B, C, D, E), dan kita perlu memilih 2 orang untuk menjadi perwakilan. Berapa banyak cara kita dapat memilih perwakilan kelas?

   Pembahasan: Kita menggunakan kombinasi karena yang penting hanya pemilihan siswanya, bukan urutannya. Sehingga hasilnya adalah C(5,2) = 5! / (2! * (5-2)!).

8. Berikan contoh permutasi dengan pengulangan (permutasi dengan pengembalian) dan jelaskan perbedaannya dengan permutasi tanpa pengulangan.

   Jawaban:

   • Permutasi dengan pengulangan memperbolehkan objek yang sama muncul lebih dari sekali dalam susunan.
   • Contoh: Berapa banyak kata yang dapat dibuat dari huruf-huruf kata “MATE”?

   Pembahasan: Karena huruf ‘M’ muncul 2 kali, maka jumlah kata yang dapat dibuat adalah 4! / (2! * 1!).

9. Bagaimana rumus umum permutasi dapat diubah menjadi rumus umum kombinasi? Berikan contoh untuk membuktikan perubahan rumus tersebut.

   Jawaban:

   • Rumus umum permutasi P(n, r) = n! / (n-r)!
   • Rumus umum kombinasi C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)
   • Contoh: Buktikan bahwa C(n, r) = P(n, r) / r!

   Pembahasan: Substitusi rumus permutasi ke dalam rumus kombinasi dan menyederhanakannya membuktikan bahwa C(n, r) = P(n, r) / r!.

10. Jelaskan penerapan konsep permutasi dan kombinasi dalam dunia statistika atau probabilitas.

    Jawaban:

    • Permutasi digunakan untuk menghitung jumlah cara yang berbeda untuk menyusun atau mengatur suatu himpunan objek.
    • Kombinasi digunakan untuk menghitung jumlah cara yang berbeda untuk memilih sekelompok objek dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan.
    • Contoh: Berapa banyak cara yang mungkin untuk menggambar 3 kartu As dari setumpuk kartu poker?

    Pembahasan: Kita menggunakan kombinasi karena yang penting hanya pemilihan kartunya, bukan urutannya. Sehingga hasilnya adalah C(4,3) * C(4,3) * C(4,3).

1. 11. Sebuah grup terdiri dari 5 orang dan kita perlu memilih 2 orang untuk membentuk tim. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih tim?

       Jawaban:

       Permutasi atau kombinasi?

       ¹¹P₂ = 5! / (5-2)! = 5 x 4 = 20

   12. Sebuah kotak berisi 4 bola warna (merah, biru, kuning, hijau). Berapa banyak permutasi warna bola yang mungkin jika kita mengambil 2 bola secara acak?

       Jawaban:

       Permutasi atau kombinasi?

       ⁴P₂ = 4! / (4-2)! = 4 x 3 = 12

       Jadi hasil akhirnya adalah 12.

   13. Ada 6 buah buku dalam rak, dan kita ingin mengambil 3 buku. Berapa banyak kombinasi pengambilan buku yang mungkin?

       Jawaban:

       Permutasi atau kombinasi?

       ⁶C₃ = 6! / [3!(6-3)!] = 20

       Jadi hasil akhirnya adalah 20.

   14. Seorang penulis memiliki 8 cerita pendek. Jika ia ingin membuat buku yang terdiri dari 4 cerita, berapa banyak permutasi buku yang mungkin?

       Jawaban:

       Permutasi atau kombinasi?

       ⁸P₄ = 8! / (8-4)! = 1680

       Jadi hasil akhirnya adalah 1680.

   15. Sebuah kunci terdiri dari 5 digit angka. Berapa banyak permutasi kombinasi yang mungkin untuk membuka kunci tersebut?

       Jawaban:

       Permutasi atau kombinasi?

       ¹⁰P₅ = 10! / (10-5)! = 30240

        Jadi hasil akhirnya adalah 30240. 

16. Sebuah kelompok terdiri dari 5 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Jika akan dipilih sebuah tim yang terdiri dari 3 siswa, berapa banyak cara yang mungkin untuk membentuk tim tersebut?

    • Permutasi atau Kombinasi: Kombinasi
    • Rumus: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
    • Hasil: \( C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = 84 \)

17. Sebuah koper memiliki 4 kunci yang identik. Berapa banyak cara memilih 2 kunci dari 4 kunci tersebut?

    • Permutasi atau Kombinasi: Kombinasi
    • Rumus: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
    • Hasil: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \)

18. Sebuah buku terdiri dari 5 halaman bergambar dan 3 halaman teks. Jika akan dipilih halaman acak, berapa banyak cara memilih 2 halaman gambar berturut-turut?

    • Permutasi atau Kombinasi: Permutasi
    • Rumus: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    • Hasil: \( P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = 60 \)

19. Sebuah kelompok musik terdiri dari 7 anggota. Jika akan dipilih 4 anggota untuk tampil di suatu acara, berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?

    • Permutasi atau Kombinasi: Kombinasi
    • Rumus: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
    • Hasil: \( C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35 \)

20. Sebuah kotak berisi 6 kartu warna-warni. Jika 3 kartu diambil secara acak, berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?

    • Permutasi atau Kombinasi: Kombinasi
    • Rumus: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
    • Hasil: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \)

Permutasi dan kombinasi membantu kita menjelajahi berbagai cara menyusun dan memilih, membuka pintu untuk kreasi dan analisis yang tak terbatas. Jadi, saat berurusan dengan kemungkinan dan variasi, jangan ragu untuk mengandalkan permutasi dan kombinasi!

Apabila ada kesulitan maupun ada yang ingin ditanyaka maka jangan ragu untuk bertanya. Karena malu bertanya sesat di jalan!