Berikut ini kami sajikan 8 contoh soal esai barisan aritmatika lengkap dengan kunci jawabannya:
1. Dalam suatu urutan aritmatika, diketahui bahwa suku ketiga memiliki nilai 13 dan suku kelima memiliki nilai 25. Temukanlah perbedaan dan suku ke-10 dari urutan tersebut! Selanjutnya, jika suku terakhir adalah suku ke-m dengan m = 50, cari suku tengahnya?
Pemecahan masalah:
Apakah b dan Un = …?
U5 – U4 = U4 – U3
25 – U4 = U4 – 13
U4 = 19 Karena b = Un – Un-1, maka b = U5 – U4 = U4 – U3 = 6
Maka diperoleh
a = 1
Un = a + (n – 1)b
U10 = 1 + (9)(6)
U10 = 55
Cara lain: cari suku ke-9 terlebih dahulu dan tambahkan dengan b, atau tambahkan suku kelima dengan b sebanyak 5 kali)
Ut = …?
Um = a + (m – 1)b
U50 = 1 + (49)(6)
U50 = 295
Maka diperoleh
Ut = 1/2(a + Um)
Ut = 1/2(1 + 295)
Ut = 296/2
Ut = 198
2. Dalam urutan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n dari urutan tersebut!
b. Suku ke berapakah yang memiliki nilai 198?
Pemecahan masalah:
a. Dalam urutan aritmetika 3, 8, 13, …
suku pertama adalah a = 3 dan perbedaan b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5 = 3 + 9 x 5 = 3 + 45 = 48
Un = a + (n – 1)b = 3 + (n – 1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2
b. Misalkan Un = 198,
maka berlaku:
Un = 198 5n – 2 = 198 5n = 200 n = 40
Jadi, 198 adalah suku ke-40
3. Diketahui U1 = a = 3, U5 = 19, Un = 31
a. Tentukan perbedaan (b)
b. Tentukan n
c. Tentukan suku ke-20
d. Tentukan n jika Un = 51
Pemecahan masalah:
a. Cari U5 terlebih dahulu,
kemudian cari b dengan rumus U5 yang telah ditemukan:
Un = a + (n – 1)b
U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b b = a + 4b = 19 3 + 4b = 19 4b = 19 – 3 b = 16/4 b = 4
b. Gunakan rumus
Un = a + (n – 1)b = 31 (diketahui Un = 31)
Un = 31 a + (n – 1)b = 31 3 + (n – 1)4 = 31 3 + 4n – 4 = 31 4n – 1 = 31 4n = 31 + 1 n = 32/4 n = 8
c. Suku ke-20, diketahui: a = 3, b = 4:
Un = a + (n – 1) b
U20 = 3 + (20 – 1) 4
U20 = 3 + 80 – 4
U20 = 80 – 1
U20 = 79
d. Jika Un = 51:
Un = 51 a + (n – 1)b = 51 3 + (n – 1)4 = 51 3 + 4n – 4 = 51 4n – 1 = 51 4n = 51 + 1 n = 52/4 n = 13
4. Peringkat kelima dalam deret bilangan 1, 3, 5, 10 … ialah…
Pemecahan masalah:
Peringkat ke-n dalam deret bilangan tersebut:
Un = n(n + 1)/2
U15 = 15(15 + 1)/2
U15 = 120
Maka, peringkat kelima dalam deret bilangan 1, 3, 5, 10 adalah 120.
5. Peringkat ke-40 dalam deret 7, 5, 3, 1, … ialah…
Pemecahan masalah:
7, 5, 3, 1, … merupakan deret aritmatika
b = 5 – 7 = -2
a = 7
Un = a + (n -1)b
U40 = 7 + (40 – 1)(-2) = -71
Jadi, peringkat ke-40 dalam deret bilangan tersebut adalah -71.
6. Temukan peringkat ke-20 dalam deret bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.
Pemecahan masalah:
Deret bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, …, 99
a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b
U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60
Oleh karena itu, peringkat ke-20 dalam deret bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 60.
7. Diketahui deret aritmatika memiliki rumus peringkat ke-n Un = 6n + 8. Nilai dari perbedaan (beda) adalah…
Pemecahan masalah:
Un = 6n + 8
U1 = 6 . 1 + 8 = 14
U2 = 6 . 2 + 8 = 20
Maka:
beda = U2 – U1
beda = 20 – 14
beda = 6
Maka nilai perbedaan (beda) dari deret aritmatika yang memiliki rumus peringkat ke-n Un = 6n + 8 adalah 6.
8. Sebuah deret aritmatika memiliki peringkat pertama sama dengan 3 dan perbedaan (beda) sama dengan 2. Berapa peringkat ke-5 nya?
Pemecahan masalah:
Diketahui bahwa:
a = 3, n = 5, beda = 2
Maka:
Un = a + (n – 1)beda
U5 = 3 + (5 – 1)2 = 3 + 8 = 11
Jadi, peringkat ke-5 dalam deret aritmatika dengan peringkat pertama 3 dan perbedaan (beda) 2 adalah 11.
Untuk menambah wawasan mengenai bilangan berikut ini ada beberapa pengertian deret bilangan yang bisa kita pahami :
1. Deret Fibonacci merupakan salah satu deret yang menarik dalam matematika. Deret ini dibentuk dengan menjumlahkan dua bilangan sebelumnya untuk mendapatkan bilangan berikutnya. Misalnya, deret ini dimulai dengan 0 dan 1, dan setiap angka selanjutnya adalah hasil penjumlahan dua angka sebelumnya. Deret ini memiliki banyak aplikasi dalam ilmu komputer dan berbagai bidang lainnya.
2. Deret bilangan prima adalah deret yang terdiri dari bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. Contoh dari deret ini adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan seterusnya. Bilangan prima memiliki sifat unik dan menjadi bahan studi yang menarik dalam teori bilangan.
3. Konsep deret geometri melibatkan rasio yang tetap antara setiap angka dalam deret. Dalam deret ini, setiap angka didapatkan dengan mengalikan angka sebelumnya dengan suatu konstanta. Contoh sederhana adalah deret 2, 4, 8, 16, di mana rasio antaranya adalah 2. Deret geometri digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti dalam perhitungan bunga pinjaman dan pertumbuhan populasi.
4. Semua deret bilangan ini memiliki karakteristik dan sifat khusus yang membuatnya menarik untuk dipelajari dalam matematika. Mempelajari deret bilangan juga membantu kita memahami pola-pola dalam berbagai fenomena alam dan aplikasi ilmiah lainnya.
5. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang deret bilangan ini juga dapat diterapkan dalam pemecahan masalah di kehidupan sehari-hari, seperti dalam perencanaan keuangan, analisis data, dan bidang-bidang lain yang memerlukan pemodelan matematika.
6. Mengerti konsep deret bilangan, seperti deret aritmatika, deret geometri, dan deret Fibonacci, dapat membantu meningkatkan pemahaman kita tentang matematika dan menerapkannya dalam berbagai aspek kehidupan. Semakin dalam kita memahami deret bilangan, semakin besar kemampuan kita dalam menghadapi berbagai tantangan matematika dan ilmiah.
